お茶の水女子大学
2012年 理（数学科） 第4問
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以下では，実数を成分にもつ行列を考える．
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right)$とする．
(ⅰ) $a>0,\ d \geqq 0$または$a \geqq 0,\ d>0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(ⅱ) $a<0$または$d<0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$が存在するための必要十分条件を$a,\ b,\ d$を用いて表せ．また，この条件が成り立つとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(ⅲ) $a=d=0,\ b \neq 0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．
(2) $B=\left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right),\ B^2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$とする．
(ⅰ) $p+s=0,\ ps-qr=0$となることを示せ．
(ⅱ) $B \neq \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$のとき，$X^2=B$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right)$とする．
(ⅰ) $a>0,\ d \geqq 0$または$a \geqq 0,\ d>0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(ⅱ) $a<0$または$d<0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$が存在するための必要十分条件を$a,\ b,\ d$を用いて表せ．また，この条件が成り立つとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(ⅲ) $a=d=0,\ b \neq 0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．
(2) $B=\left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right),\ B^2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$とする．
(ⅰ) $p+s=0,\ ps-qr=0$となることを示せ．
(ⅱ) $B \neq \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$のとき，$X^2=B$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．
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