$1$から$9$までの自然数のそれぞれに赤か青の色を付ける操作を考える．
(1) $X$をこれら$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合とする．$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付けるとき，$X$に属するすべての数がすべて同じ色である確率を求めよ．
(2) 一般に，ある試行における$3$つの事象$A,\ B,\ C$について， \[ P(A \cup B \cup C) \leqq P(A)+P(B)+P(C) \] が成り立つことを示せ．ここで$P(A)$は事象$A$が起こる確率である．
(3) $1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合が$3$つある．それを$X,\ Y,\ Z$とする．$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付ける操作をしたとき，$X,\ Y,\ Z$のどれにも両方の色の数が含まれる確率が$0$ではないことを示せ．ただし，$X \cap Y$，$Y \cap Z$，$Z \cap X$は空集合とは限らない．