お茶の水女子大学
2014年 理（数学科） 第1問
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実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して，$2$次正方行列$A,\ O$を次で定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
(1) 行列$A$が$ad-bc=0$を満たすとき， \[ A=\left( \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} r & s \end{array} \right) \] となるような実数$p,\ q,\ r,\ s$が存在することを示せ．
(2) ある$2$次正方行列$X,\ Y$に対して$XA \neq O$，$AY \neq O$，$XAY=O$が成立するとき，$ad-bc \neq 0$となることを示せ．
(1) 行列$A$が$ad-bc=0$を満たすとき， \[ A=\left( \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} r & s \end{array} \right) \] となるような実数$p,\ q,\ r,\ s$が存在することを示せ．
(2) ある$2$次正方行列$X,\ Y$に対して$XA \neq O$，$AY \neq O$，$XAY=O$が成立するとき，$ad-bc \neq 0$となることを示せ．
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