放物線$y=x^2$を$C_1$，$C_1$と異なる放物線$y=ax^2+bx+c \ (a \neq 0)$を$C_2$とする．
(1) $a=1$のとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は最大でも$1$本しか存在しないことを示せ．
(2) $a=1$のとき，条件$b \neq 0$は条件
$C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$1$本だけ存在する
の必要十分条件であることを示せ．
(3) 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次で定める． \[ \begin{array}{ll} p_1:C_2 \text{は下に凸である．} & p_2:C_2 \text{は上に凸である．} \\ q_1:C_1 \text{と} C_2 \text{が異なる}2 \text{点で交わる．} & q_2:C_1 \text{と} C_2 \text{が交わらない．} \end{array} \] $a \neq 1$のとき，条件
$p:$「$p_1$かつ$q_1$」または「$p_2$かつ$q_2$」
は条件
$q:C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在する
の必要十分条件であることを示せ．