お茶の水女子大学
2013年 数学科・物理学科（共通問題） 第6問
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座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ c_2)$について考える．
\[ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
とおく．
(1) $I+J+J^2,\ J^3$を求めよ．
(2) $\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)=J \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right)=J^2 \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)$のとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は正三角形をなすことを示せ．
(3) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が異なり， \[ \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)+J \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)+J^2 \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \] が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形となることを示せ．
(1) $I+J+J^2,\ J^3$を求めよ．
(2) $\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)=J \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right)=J^2 \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)$のとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は正三角形をなすことを示せ．
(3) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が異なり， \[ \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)+J \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)+J^2 \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \] が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形となることを示せ．
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