広島市立大学
2011年 理系 第3問
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![平面上の三角形ABCの頂点A,B,Cの位置ベクトルをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcとするとき,以下の問いに答えよ.(1)線分ABの垂直二等分線をℓとする.ℓ上の点Pの位置ベクトルをベクトルpとするとき,直線ℓのベクトル方程式はベクトルp・(ベクトルb-ベクトルa)=1/2(|ベクトルb|^2-|ベクトルa|^2)で与えられることを示せ.(2)(1)の結果を用いて,三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ.(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトルベクトルdが,ベクトルd=4/7ベクトルa+4/7ベクトルb-1/7ベクトルcを満たすものとする.(4)辺ABの中点をMとするとき,3点C,M,Dは一直線上にあることを示し, CM : MD を求めよ.(5)三角形ABCの三辺の長さの比 BC : CA : AB を求めよ.](./thumb/632/2825/2011_3.png)
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平面上の三角形ABCの頂点A,B,Cの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) 線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする.$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき,直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ.
(2) (1)の結果を用いて,三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ.
(3) (2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が,$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする.
(4) 辺ABの中点をMとするとき,3点C,M,Dは一直線上にあることを示し,$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ.
(5) 三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ.
(1) 線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする.$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき,直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ.
(2) (1)の結果を用いて,三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ.
(3) (2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が,$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする.
(4) 辺ABの中点をMとするとき,3点C,M,Dは一直線上にあることを示し,$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ.
(5) 三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ.
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