京都工芸繊維大学
2015年 工芸科学 第1問
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$xyz$空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(2,\ 4,\ -1)$を考える.直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}_1$,$C_2$はそれぞれ次の条件を満たす.
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_1$に一致するとき最小となる.
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき,$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_2$に一致するとき最大となる.
このとき,次の問いに答えよ.
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}|$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$の値を求めよ.
(2) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}_2}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}_2}|}$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_2}$の値を求めよ.
(3) $2$つの三角形$\triangle \mathrm{AC}_1 \mathrm{O}$と$\triangle \mathrm{AOC}_2$は相似であることを示せ.
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_1$に一致するとき最小となる.
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき,$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_2$に一致するとき最大となる.
このとき,次の問いに答えよ.
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}|$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$の値を求めよ.
(2) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}_2}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}_2}|}$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_2}$の値を求めよ.
(3) $2$つの三角形$\triangle \mathrm{AC}_1 \mathrm{O}$と$\triangle \mathrm{AOC}_2$は相似であることを示せ.
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