大阪教育大学
2014年 理系 第1問
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$\alpha,\ \beta$は正の実数とする.次の条件によって定義される数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について,以下の問に答えよ.
$a_1=\alpha,\quad b_1=\beta,$
$a_{n+1}=\alpha a_n-\beta b_n,\quad b_{n+1}=\beta a_n+\alpha b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) $\alpha^2+\beta^2 \leqq 1$が成り立つならば,任意の自然数$n$に対して${a_n}^2+{b_n}^2 \leqq 1$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \alpha=\cos \theta,\ \beta=\sin \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表されているとき,$a_2$,$b_2$,$a_3$,$b_3$を$\theta$を用いて表せ.
(3) $a_{12}=1$,$b_{12}=0$となるような正の実数の組$(\alpha,\ \beta)$を全て求めよ.
$a_1=\alpha,\quad b_1=\beta,$
$a_{n+1}=\alpha a_n-\beta b_n,\quad b_{n+1}=\beta a_n+\alpha b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) $\alpha^2+\beta^2 \leqq 1$が成り立つならば,任意の自然数$n$に対して${a_n}^2+{b_n}^2 \leqq 1$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \alpha=\cos \theta,\ \beta=\sin \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表されているとき,$a_2$,$b_2$,$a_3$,$b_3$を$\theta$を用いて表せ.
(3) $a_{12}=1$,$b_{12}=0$となるような正の実数の組$(\alpha,\ \beta)$を全て求めよ.
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