自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，その一般項を$a_n$で表し，初項から第$n$項までの和を$S_a(n)$で表す．また，$\{b_n\}$は一般項が$b_n=2^{a_n}$で定義される数列であり，その初項から第$n$項までの和を$S_b(n)$で表す．次の各問に答えよ．
(1) $a=1,\ d=2$とする．
(ⅰ) $n$を用いて$a_n$と$S_a(n)$を表しなさい．
(ⅱ) $\log_{10} \{S_a(1000)\}$の値を求めなさい．
(ⅲ) $10<S_a(n)<50$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2) $b_3=\sqrt[5]{4},\ b_7=\sqrt[5]{64}$とする．
(ⅰ) $a$と$d$の値を求めなさい．
(ⅱ) $b_{n+1}$の$b_n$に対する比を求めなさい．
(ⅲ) $n$を用いて$b_n$と$S_b(n)$を表しなさい． [$\tokeishi$] $b_n=2$のとき，$n$と$S_b(n)$のそれぞれの値を求めなさい．
(3) 自然数$m$について，$u=\sin a_{2m-1}+\cos a_{2m-1}$，$v=\sin a_{2m}-\cos a_{2m}$，$y=uv$，$0<a<2\pi$，$d=\pi$とする．
(ⅰ) $u$の最大値と，$u$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(ⅱ) $v$の最大値と，$v$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(ⅲ) $y$の最大値と，$y$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．