山梨大学
2010年 工学部・生命環境(生命工) 第2問
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![y=x^2を平行移動してできる放物線Cは点Q(1,1)を通り,その軸の方程式はx=pで,p<1であるとする.点Qにおける放物線Cの接線をℓ_1,点Qにおいてℓ_1に直交する直線をℓ_2とし,ℓ_1とx軸との交点をA,ℓ_2とx軸との交点をBとする.また,点Qの位置ベクトルをベクトルq=(1,1)で表し,直線ℓ_1,ℓ_2の方向ベクトルをそれぞれベクトルa=(1,m),ベクトルb=(1,n)とする.(1)放物線Cの方程式をpを使って表せ.(2)mおよびnをそれぞれpで表せ.(3)△QABの内部および周上の点を表す位置ベクトルを,実数s,tを用いてベクトルv=ベクトルq+sベクトルa+tベクトルbと表すとき,点(s,t)の存在する領域を図示せよ.](./thumb/370/2439/2010_2.png)
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$y=x^2$を平行移動してできる放物線$C$は点$\mathrm{Q}(1,\ 1)$を通り,その軸の方程式は$x=p$で,$p<1$であるとする.点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線を$\ell_1$,点$\mathrm{Q}$において$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とし,$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$,$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする.また,点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{q}=(1,\ 1)$で表し,直線$\ell_1,\ \ell_2$の方向ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}=(1,\ m),\ \overrightarrow{b}=(1,\ n)$とする.
(1) 放物線$C$の方程式を$p$を使って表せ.
(2) $m$および$n$をそれぞれ$p$で表せ.
(3) $\triangle \mathrm{QAB}$の内部および周上の点を表す位置ベクトルを,実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{q}+s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき,点$(s,\ t)$の存在する領域を図示せよ.
(1) 放物線$C$の方程式を$p$を使って表せ.
(2) $m$および$n$をそれぞれ$p$で表せ.
(3) $\triangle \mathrm{QAB}$の内部および周上の点を表す位置ベクトルを,実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{q}+s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき,点$(s,\ t)$の存在する領域を図示せよ.
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