東京工業大学
2015年 理系 第3問
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$a>0$とする．曲線$y=e^{-x^2}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=a$で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体を$A$とする．
(1) $A$の体積$V$を求めよ．
(2) 点$(t,\ 0) \ \ (-a \leqq t \leqq a)$を通り$x$軸と垂直な平面による$A$の切り口の面積を$S(t)$とするとき，不等式 \[ S(t) \leqq \int_{-a}^a e^{-(s^2+t^2)} \, ds \] を示せ．
(3) 不等式 \[ \sqrt{\pi (1-e^{-a^2})} \leqq \int_{-a}^a e^{-x^2} \, dx \] を示せ．
(1) $A$の体積$V$を求めよ．
(2) 点$(t,\ 0) \ \ (-a \leqq t \leqq a)$を通り$x$軸と垂直な平面による$A$の切り口の面積を$S(t)$とするとき，不等式 \[ S(t) \leqq \int_{-a}^a e^{-(s^2+t^2)} \, ds \] を示せ．
(3) 不等式 \[ \sqrt{\pi (1-e^{-a^2})} \leqq \int_{-a}^a e^{-x^2} \, dx \] を示せ．
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