東京学芸大学
2013年 理系 第4問
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$x \geqq 0$において連続関数$f(x)$が不等式
\[ f(x) \leqq a+\int_0^x 2tf(t) \, dt \]
をみたしているとする．$g(x)=ae^{x^2}$とするとき，下の問いに答えよ．ただし，$a$は$0$以上の定数である．
(1) 等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ．
(2) $\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき，$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ．
(3) $x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ．
(1) 等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ．
(2) $\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき，$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ．
(3) $x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ．
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コメント（1件）
2015-11-13 20:29:33
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