玉川大学
2011年 全学部 第2問
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次の$\fbox{}$を埋めよ.
(1) 数列$\{a_n\}$が$a_1=2$,$a_n=3a_{n-1}-1 \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$のとき,$a_2=\fbox{}$,$a_3=\fbox{}$で,一般項は$\displaystyle a_n=\frac{{\fbox{}}^n+\fbox{}}{\fbox{}}$である.
(2) $\displaystyle \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta}+\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta}=1$のとき,$\sin^2 \alpha-\sin^2 \beta=\fbox{}$となるから$\displaystyle \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha}+\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha}=\fbox{}$となる.
(3) 実数$x,\ y$が$\left\{ \begin{array}{l} x+y=k \\ x^2+2y^2=1 \end{array} \right.$を満たすとき,$k$の最大値は$\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}}$である.
(4) $2$点$\mathrm{A}(0,\ -2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$と放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{C}(t,\ t^2)$で作られる三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$S=\fbox{}t^2-t+\fbox{}$である.$S$は$\displaystyle t=\frac{\fbox{}}{\fbox{}}$のとき,最小値$\displaystyle \frac{\fbox{}}{\fbox{}}$をとる.
(1) 数列$\{a_n\}$が$a_1=2$,$a_n=3a_{n-1}-1 \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$のとき,$a_2=\fbox{}$,$a_3=\fbox{}$で,一般項は$\displaystyle a_n=\frac{{\fbox{}}^n+\fbox{}}{\fbox{}}$である.
(2) $\displaystyle \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta}+\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta}=1$のとき,$\sin^2 \alpha-\sin^2 \beta=\fbox{}$となるから$\displaystyle \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha}+\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha}=\fbox{}$となる.
(3) 実数$x,\ y$が$\left\{ \begin{array}{l} x+y=k \\ x^2+2y^2=1 \end{array} \right.$を満たすとき,$k$の最大値は$\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}}$である.
(4) $2$点$\mathrm{A}(0,\ -2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$と放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{C}(t,\ t^2)$で作られる三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$S=\fbox{}t^2-t+\fbox{}$である.$S$は$\displaystyle t=\frac{\fbox{}}{\fbox{}}$のとき,最小値$\displaystyle \frac{\fbox{}}{\fbox{}}$をとる.
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