立教大学
2015年 理学部(個別日程) 第1問
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次の空欄$\fbox{ア}$~$\fbox{コ}$にあてはまる数または式を記入せよ.
(1) 空間内の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする.実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める.原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき,$p=\fbox{ア}$,$q=\fbox{イ}$である.
(2) 不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は,$x<\fbox{ウ}$または$x>\fbox{エ}$である.
(3) 多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると,定数$A$と$B$は$A=\fbox{オ}$,$B=\fbox{カ}$である.
(4) $0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=\fbox{キ}$である.
(5) 大中小の$3$つのサイコロをふって,出た目の和が$9$になる確率は$\fbox{ク}$である. $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$\fbox{ケ}$であり,最小値は$\fbox{コ}$である.
(1) 空間内の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする.実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める.原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき,$p=\fbox{ア}$,$q=\fbox{イ}$である.
(2) 不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は,$x<\fbox{ウ}$または$x>\fbox{エ}$である.
(3) 多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると,定数$A$と$B$は$A=\fbox{オ}$,$B=\fbox{カ}$である.
(4) $0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=\fbox{キ}$である.
(5) 大中小の$3$つのサイコロをふって,出た目の和が$9$になる確率は$\fbox{ク}$である. $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$\fbox{ケ}$であり,最小値は$\fbox{コ}$である.
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