福岡女子大学
2011年 国際文理(環境科学) 第4問
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座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし,一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする.また,$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする.原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して,点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める:
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい.
(1) $K(r,\ \theta)$を求めなさい.$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい.
(2) $0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$ad-bc>0$であることを示しなさい.
(3) $0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる.このことを用いて,図のように,点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が \[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \] に等しいことを示しなさい.ただし,$x_4=x_1$,$y_4=y_1$とする. \imgc{683_3132_2011_1}
(1) $K(r,\ \theta)$を求めなさい.$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい.
(2) $0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$ad-bc>0$であることを示しなさい.
(3) $0^\circ<\theta<180^\circ$ならば,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる.このことを用いて,図のように,点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が \[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \] に等しいことを示しなさい.ただし,$x_4=x_1$,$y_4=y_1$とする. \imgc{683_3132_2011_1}
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