福井大学
2012年 医学部 第4問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -3 \\
3 & 2
\end{array} \right)$で表される1次変換を$f$とする.$f$によって,点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$が移る点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$,正の整数$n$に対して点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$が移る点を$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする.原点を$\mathrm{O}$として,以下の問いに答えよ.
(1) $\cos \angle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$の値を求めよ.
(2) 2以上の整数$n$で,直線$\mathrm{OP}_n$が線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と交わる最小の$n$を求めよ.
(3) $i$を虚数単位とする.0でない整数$n$に対して,実数$a_n,\ b_n$を$(2+3i)^n=a_n+b_ni$により定める.このとき次の等式 \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} a_n & -b_n \\ b_n & a_n \end{array} \right) \] が0でないすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ.ただし,正の整数$m$に対し$A^{-m}=(A^m)^{-1}$とする.
(1) $\cos \angle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$の値を求めよ.
(2) 2以上の整数$n$で,直線$\mathrm{OP}_n$が線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と交わる最小の$n$を求めよ.
(3) $i$を虚数単位とする.0でない整数$n$に対して,実数$a_n,\ b_n$を$(2+3i)^n=a_n+b_ni$により定める.このとき次の等式 \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} a_n & -b_n \\ b_n & a_n \end{array} \right) \] が0でないすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ.ただし,正の整数$m$に対し$A^{-m}=(A^m)^{-1}$とする.
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