大阪市立大学
2012年 理系 第4問
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![|a^2-2b^2|=1をみたす整数a,bによって,(\begin{array}{cc}a&2b\\b&a\end{array})と表される2次の正方行列全体の集合をUとする.このとき,Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}a&2b\\b&a\end{array})に対して,f(A)=a+√2bとおく.次の問いに答えよ.(1)二つの行列AとBがUに属するならば,積ABもUに属することを示し,さらにf(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを示せ.(2)Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}a&2b\\b&a\end{array})について,f(A)≧1ならば,-1≦a-√2b≦1が成り立つことを示せ.(3)Uに属する行列Aについて,1≦f(A)<1+√2ならば,A=(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array})であることを示せ.(4)Uに属する行列Aについて,1+√2≦f(A)<(1+√2)^2ならば,A=(\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array})であることを示せ.](./thumb/506/1169/2012_4.png)
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$|a^2 - 2b^2|=1$をみたす整数$a,\ b$によって,$\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$と表される2次の正方行列全体の集合を$U$とする.このとき,$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$に対して,$f(A)=a+\sqrt{2}b$とおく.次の問いに答えよ.
(1) 二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば,積$AB$も$U$に属することを示し,さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ.
(2) $U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & 2b \\ b & a \end{array} \right)$について,$f(A) \geqq 1$ならば,$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ.
(3) $U$に属する行列$A$について,$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば,$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$であることを示せ.
(4) $U$に属する行列$A$について,$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば,$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$であることを示せ.
(1) 二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば,積$AB$も$U$に属することを示し,さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ.
(2) $U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & 2b \\ b & a \end{array} \right)$について,$f(A) \geqq 1$ならば,$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ.
(3) $U$に属する行列$A$について,$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば,$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$であることを示せ.
(4) $U$に属する行列$A$について,$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば,$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$であることを示せ.
類題(関連度順)
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