杏林大学
2012年 医学部 第4問
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座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$t \geqq 0$に対して
\[ x=1-e^{-3t},\quad y=8-3t-8e^{-3t} \]
で表されるとき,以下の問いに答えよ.
(1) $t \to \infty$のとき$x$の極限値は \[ \lim_{t \to \infty} x=\fbox{ア} \] であり,$t=0$のとき \[ \frac{dy}{dt}=\fbox{イウ} \] となる.また,任意の$t$に対して
$\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2}+\fbox{エ} \frac{dx}{dt}=\fbox{オ}$,
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}+\fbox{カ} \frac{dy}{dt}=\fbox{キク}$
が成り立つ.
(2) $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$となる$t$の値を$\alpha$とすると,$e^\alpha=\fbox{ケ}$となる.このときの$x$の値を$\beta$とすると,$\displaystyle \beta=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$であり,$y$の値は$\fbox{シ}-\fbox{ス} \alpha$である.
(3) $0 \leqq t \leqq \alpha$に対して点$\mathrm{P}$の描く曲線と,直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{セソ}}{\fbox{タチ}}+\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \alpha$となる.
(1) $t \to \infty$のとき$x$の極限値は \[ \lim_{t \to \infty} x=\fbox{ア} \] であり,$t=0$のとき \[ \frac{dy}{dt}=\fbox{イウ} \] となる.また,任意の$t$に対して
$\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2}+\fbox{エ} \frac{dx}{dt}=\fbox{オ}$,
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}+\fbox{カ} \frac{dy}{dt}=\fbox{キク}$
が成り立つ.
(2) $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$となる$t$の値を$\alpha$とすると,$e^\alpha=\fbox{ケ}$となる.このときの$x$の値を$\beta$とすると,$\displaystyle \beta=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$であり,$y$の値は$\fbox{シ}-\fbox{ス} \alpha$である.
(3) $0 \leqq t \leqq \alpha$に対して点$\mathrm{P}$の描く曲線と,直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{セソ}}{\fbox{タチ}}+\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \alpha$となる.
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