数列$\{a_n\}$を次のように定める． \[ a_1=a_2=a_3=1,\quad a_{n+3}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) $a_{n+1} \leqq a_{n+2} \leqq 2a_n$を示せ．
(2) $a_n \leqq \sqrt{2^n}$を示せ．
さらに，数列$\{b_n\}$を \[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & a_n \ \text{が偶数のとき} \\ 1 & a_n \ \text{が奇数のとき} \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める．また，自然数$k$に対して，条件 \[ p_k \ \text{：すべての自然数} \ n \ \text{について} \ b_{n+k}=b_n \ \text{が成り立つ} \] を考える．以下の問いに答えよ．
(3) 条件$p_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．
(4) $p,\ q,\ r$を整数とし，数列$\{a_n\}$の$a_1,\ a_2,\ a_3$を$a_1=p,\ a_2=q,\ a_3=r$に置き換え，数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える．$p,\ q,\ r$をどのように選んでも，条件$p_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ．