九州工業大学
2011年 情報工学部 第2問
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実数$a$と行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-2 & -2a \\
4a & -2a+2
\end{array} \biggr)$がある.$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える.
条件1: 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される.
条件2: 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される.
以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 条件1がみたされるとき,$a$の値を求めよ.
(ⅱ) 条件1,条件2の両方がみたされるとき,$a$の値を求めよ.
(ⅲ) $a$は$\tokeini$で求めた値とする.自然数$n$に対して,点R$_n$を次のように定める. \begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする.
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする. \end{itemize} R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき,$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ.
条件1: 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される.
条件2: 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される.
以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 条件1がみたされるとき,$a$の値を求めよ.
(ⅱ) 条件1,条件2の両方がみたされるとき,$a$の値を求めよ.
(ⅲ) $a$は$\tokeini$で求めた値とする.自然数$n$に対して,点R$_n$を次のように定める. \begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする.
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする. \end{itemize} R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき,$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ.
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