四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB},\ \mathrm{OA} = 3,\ \mathrm{OB} = 4,\ \mathrm{OC} = 5$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{CG}$は$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面に垂直とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．