新潟大学
2013年 理系 第4問
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平面上の2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$はそれぞれの大きさが1であり，また平行でないとする．次の問いに答えよ．
(1) $t \geqq 0$であるような実数$t$に対して，不等式 \[ 0<|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2 \leqq (1+t)^2 \] が成立することを示せ．
(2) $t \geqq 0$であるような実数$t$に対して$\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{2t^2 \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2}$とおき，$f(t)=|\overrightarrow{p}|$とする．このとき，不等式 \[ f(t) \geqq \frac{2t^2}{(1+t)^2} \] が成立することを示せ．
(3) $f(t)=1$となる正の実数$t$が存在することを示せ．
(1) $t \geqq 0$であるような実数$t$に対して，不等式 \[ 0<|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2 \leqq (1+t)^2 \] が成立することを示せ．
(2) $t \geqq 0$であるような実数$t$に対して$\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{2t^2 \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2}$とおき，$f(t)=|\overrightarrow{p}|$とする．このとき，不等式 \[ f(t) \geqq \frac{2t^2}{(1+t)^2} \] が成立することを示せ．
(3) $f(t)=1$となる正の実数$t$が存在することを示せ．
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