九州工業大学
2013年 情報工学部 第2問
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関数$f(x)=\log (x^2-x+2) \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．
(1) $y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2) $x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3) $y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4) 平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．
(1) $y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2) $x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3) $y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4) 平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．
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