香川大学
2014年 工学部 第3問
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![自然数nに対して,座標平面上の点P_nを次のように帰納的に定める.点P_1の座標を(1,1)とし,原点Oを中心として線分OP_nを反時計回りに{90}°回転させてできる線分をOQ_nとし,線分OQ_nの中点をP_{n+1}とする.このとき,次の問に答えよ.(1)点P_2,P_3,P_4,P_5の座標を求めよ.(2)kを自然数とするとき,点P_{4k+1}の座標をkを用いて表せ.(3)点X_nをベクトルOX_n=ベクトルOP_1+ベクトルOP_2+・・・+ベクトルOP_nとなるように定める.このとき,点X_2,X_3,X_4,X_5の座標を求めよ.また,線分OX_1,X_1X_2,X_2X_3,X_3X_4,X_4X_5を座標平面上に図示せよ.(4)kを自然数とするとき,点X_{4k}の座標をkを用いて表せ.](./thumb/665/2851/2014_3.png)
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自然数$n$に対して,座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める.点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし,原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし,線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ.
(2) $k$を自然数とするとき,点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{X}_n$を \[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \] となるように定める.このとき,点$\mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{OX}_1$,$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ.
(4) $k$を自然数とするとき,点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ.
(1) 点$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ.
(2) $k$を自然数とするとき,点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{X}_n$を \[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \] となるように定める.このとき,点$\mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{OX}_1$,$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ.
(4) $k$を自然数とするとき,点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ.
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