鹿児島大学
2015年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第6問
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関数$f(x)=xe^{-x}$について,次の各問いに答えよ.ただし,$e$は自然対数の底であり,$x>0$とする.
(1) $f(x)$の極値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ,その概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい.
(2) $t>0$とするとき,曲線$y=f(x)$と$x$軸,および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ.
(3) $t>0$とするとき,曲線$y=f(x)$と$x$軸,および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ.
(1) $f(x)$の極値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ,その概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい.
(2) $t>0$とするとき,曲線$y=f(x)$と$x$軸,および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ.
(3) $t>0$とするとき,曲線$y=f(x)$と$x$軸,および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ.
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