上智大学
2015年 文(哲),法(国際),外国語(ドイツ、ポルトガル) 第3問
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$t$を実数とする.座標平面上に,$2$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1-\sqrt{3}t)$と,原点を中心とする半径$1$の円$C$がある.点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くときの$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積の最大値を$M_t$とおき,$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=M_t$となる点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_t$と表す.
(1) $\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき, \[ M_t=\fbox{ナ}+\frac{1}{\sqrt{\fbox{ニ}}} \] であり,$\mathrm{P}_t$の座標は$\left( \fbox{ヌ},\ \fbox{ネ} \right)$である.
(2) 実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき,$M_t$は$\displaystyle t=\frac{\sqrt{\fbox{ノ}}}{\fbox{ハ}}$で最小値$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$をとる.
(3) $\mathrm{P}_t$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)と表す.実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき,$\theta$は \[ \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}\pi<\theta \leqq \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}\pi \] の範囲を動く.
(1) $\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき, \[ M_t=\fbox{ナ}+\frac{1}{\sqrt{\fbox{ニ}}} \] であり,$\mathrm{P}_t$の座標は$\left( \fbox{ヌ},\ \fbox{ネ} \right)$である.
(2) 実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき,$M_t$は$\displaystyle t=\frac{\sqrt{\fbox{ノ}}}{\fbox{ハ}}$で最小値$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$をとる.
(3) $\mathrm{P}_t$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)と表す.実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき,$\theta$は \[ \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}\pi<\theta \leqq \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}\pi \] の範囲を動く.
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