愛媛大学
2015年 理学部・工学部 第3問
3
![aを実数とし,数列{a_n}および{b_n}を\begin{array}{ll}a_1=a,&a_{n+1}={\begin{array}{ll}a_n+1&(n が奇数のとき )\2a_n&(n が偶数のとき )\end{array}.\b_1=a,&b_{n+1}={\begin{array}{ll}2b_n&(n が奇数のとき )\b_n+1&(n が偶数のとき )\end{array}.\phantom{\frac{\frac{[]^{[]}}{2}}{2}}\end{array}で定める.(1)a_2,a_3,a_4,およびb_2,b_3,b_4を求めよ.(2)数列{c_n}をc_n=a_{2n}で定める.{c_n}の一般項を求めよ.(3)数列{S_n},{T_n},および{U_n}をそれぞれS_n=Σ_{k=1}^{2n}a_k,T_n=Σ_{k=1}^{2n}b_k,U_n=S_n-T_nで定める.(i){S_n}の一般項を求めよ.(ii)a=1のとき,{U_n}の一般項を求めよ.](./thumb/669/2883/2015_3.png)
3
$a$を実数とし,数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{\fbox{}^{\fbox{}}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める.
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4$,および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ.
(2) 数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める.$\{c_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$,および$\{U_n\}$をそれぞれ \[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \] で定める.
(ⅰ) $\{S_n\}$の一般項を求めよ.
(ⅱ) $a=1$のとき,$\{U_n\}$の一般項を求めよ.
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4$,および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ.
(2) 数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める.$\{c_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$,および$\{U_n\}$をそれぞれ \[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \] で定める.
(ⅰ) $\{S_n\}$の一般項を求めよ.
(ⅱ) $a=1$のとき,$\{U_n\}$の一般項を求めよ.
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