新潟大学
2012年 理系 第5問
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次の問いに答えよ．
(1) 実数$x \geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(3) 数列$\{b_n\}$を \[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(1) 実数$x \geqq 0$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(3) 数列$\{b_n\}$を \[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
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