新潟大学
2012年 理系 第2問
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次の問いに答えよ．
(1) $k,\ n$は不等式$k \leqq n$を満たす自然数とする．このとき， \[ 2^{k-1}n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) \leqq n^k k! \] が成り立つことを示せ．
(2) 自然数$n$に対して，$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n<3$が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \frac{9}{19} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．
(1) $k,\ n$は不等式$k \leqq n$を満たす自然数とする．このとき， \[ 2^{k-1}n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) \leqq n^k k! \] が成り立つことを示せ．
(2) 自然数$n$に対して，$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n<3$が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \frac{9}{19} < \log_{10}3 < \frac{1}{2}$が成り立つことを示せ．
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