新潟大学
2014年 理系 第5問
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自然数$n$に対して，$\displaystyle a_n=\int_0^1 \frac{x^2+(-x^2)^{n+1}}{1+x^2} \, dx$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 自然数$n$に対して，不等式 \[ |\int_0^1 \displaystyle\frac{x^2|{1+x^2} \, dx-a_n} \leqq \frac{1}{2n+3} \] が成り立つことを示せ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$を求めよ．
(3) 自然数$n$に対して，$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$となることを示せ．
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$を求めよ．
(1) 自然数$n$に対して，不等式 \[ |\int_0^1 \displaystyle\frac{x^2|{1+x^2} \, dx-a_n} \leqq \frac{1}{2n+3} \] が成り立つことを示せ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$を求めよ．
(3) 自然数$n$に対して，$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$となることを示せ．
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$を求めよ．
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