岩手大学
2016年 理工学部 第4問
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![数列{a_n}が,a_1=1,\frac{(1-a_{n+1})a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{(1+a_{n+1})a_n}(n=1,2,3,・・・)を満たすとき,次の問いに答えよ.ただし,すべての自然数nについてa_n>0とする.(1)数列{b_n}がb_n=\frac{1}{{a_n}^2}で与えられるとき,b_2,b_3,b_4の値を求めよ.(2)数列{a_n}の一般項を求めよ.(3)不等式∫_1^{n+1}\frac{1}{√x}dx<Σ_{k=1}^na_kが成り立つことを示せ.](./thumb/47/2079/2016_4.png)
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数列$\{a_n\}$が,
\[ a_1=1,\quad \frac{(1-a_{n+1})a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{(1+a_{n+1})a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとき,次の問いに答えよ.ただし,すべての自然数$n$について$a_n>0$とする.
(1) 数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1}{{a_n}^2}$で与えられるとき,$b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 不等式$\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < \sum_{k=1}^n a_k$が成り立つことを示せ.
(1) 数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1}{{a_n}^2}$で与えられるとき,$b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 不等式$\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < \sum_{k=1}^n a_k$が成り立つことを示せ.
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