京都府立大学
2016年 生命環境(環境・情報) 第1問
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![α,βを正の無理数とする.2つの集合A,BをA={[nα]\;|\;n=1,2,3,・・・},B={[nβ]\;|\;n=1,2,3,・・・}で定める.集合CをAとBの共通部分とする.集合DをAとBの和集合とする.1/α+1/β=1のとき以下の問いに答えよ.ただし,実数xに対して,xを超えない最大の整数を[x]と表す.(1)Cは空集合となることを示せ.(2)E={n\;|\;n=1,2,3,・・・,99}のとき,EはDの部分集合となることを示せ.](./thumb/476/2692/2016_1.png)
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$\alpha,\ \beta$を正の無理数とする.$2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{ \, [n \alpha] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \},\quad B=\{ \, [n \beta] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \} \]
で定める.集合$C$を$A$と$B$の共通部分とする.集合$D$を$A$と$B$の和集合とする.$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$のとき以下の問いに答えよ.ただし,実数$x$に対して,$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す.
(1) $C$は空集合となることを示せ.
(2) $E=\{ \, n \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 99 \, \}$のとき,$E$は$D$の部分集合となることを示せ.
(1) $C$は空集合となることを示せ.
(2) $E=\{ \, n \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 99 \, \}$のとき,$E$は$D$の部分集合となることを示せ.
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