香川大学
2012年 医学部 第4問
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![nを2以上の整数とする.集合X_n={1,2,・・・,n}を2つの空集合ではない部分集合A_n,B_nに分ける.すなわち,A_n∪B_n=X_n,A_n∩B_n=\phi,A_n≠\phi,B_n≠\phiである.A_nに属する自然数の和をa_n,B_nに属する自然数の和をb_nとおく.例えば,n=5のとき,X_5をA_5={1,2,5},B_5={3,4}と分ければ,a_5=8,b_5=7となる.このとき,次の問に答えよ.(1)nが4の倍数のとき,a_n=b_nとなるようにX_nを分けられることを示せ.(2)n+1が4の倍数のときも,a_n=b_nとなるようにX_nを分けられることを示せ.(3)nもn+1も4の倍数ではないとき,a_n=b_nとなるようにはX_nを分けられないことを示せ.](./thumb/665/2850/2012_4.png)
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$n$を2以上の整数とする.集合$X_n=\{ 1,\ 2,\ \cdots,\ n \}$を2つの空集合ではない部分集合$A_n,\ B_n$に分ける.すなわち,$A_n \cup B_n=X_n,\ A_n \cap B_n = \phi,\ A_n \neq \phi,\ B_n \neq \phi$である.$A_n$に属する自然数の和を$a_n$,$B_n$に属する自然数の和を$b_n$とおく.例えば,$n=5$のとき,$X_5$を$A_5=\{ 1,\ 2,\ 5 \},\ B_5=\{ 3,\ 4 \}$と分ければ,$a_5=8,\ b_5=7$となる.このとき,次の問に答えよ.
(1) $n$が4の倍数のとき,$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ.
(2) $n+1$が4の倍数のときも,$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ.
(3) $n$も$n+1$も4の倍数ではないとき,$a_n=b_n$となるようには$X_n$を分けられないことを示せ.
(1) $n$が4の倍数のとき,$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ.
(2) $n+1$が4の倍数のときも,$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ.
(3) $n$も$n+1$も4の倍数ではないとき,$a_n=b_n$となるようには$X_n$を分けられないことを示せ.
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