青山学院大学
2014年 理工A方式 第5問
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行列$A,\ E,\ O$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
で定め,行列$A$の表す$1$次変換を$f$とする.また,行列$A-E$の逆行列が存在しないとする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) 等式$A^2-(a+d)A+(a+d-1)E=O$が成り立つことを示せ.
(2) 点$\mathrm{P}$を平面上の任意の点とする.$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を$\mathrm{Q}$とし,$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とすると,$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ.
(1) 等式$A^2-(a+d)A+(a+d-1)E=O$が成り立つことを示せ.
(2) 点$\mathrm{P}$を平面上の任意の点とする.$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を$\mathrm{Q}$とし,$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とすると,$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ.
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