信州大学
2016年 医学部 第5問
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$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする.自然数$k$に対して,平面上の点$\mathrm{P}_k$,$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$\tokeiichi$,$\tokeini$を満たすものとして定める.
(ⅰ) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる.
(ⅱ) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる.
以下の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための,$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ.
(2) $0 \leqq \theta<2\pi$,$\theta=-\theta^\prime$,$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする.$\mathrm{Q}_0$を中心とし,半径が$r$の円を$C$とする.$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部,$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという.このとき,$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ.
(ⅰ) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる.
(ⅱ) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる.
以下の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための,$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ.
(2) $0 \leqq \theta<2\pi$,$\theta=-\theta^\prime$,$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする.$\mathrm{Q}_0$を中心とし,半径が$r$の円を$C$とする.$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部,$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという.このとき,$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ.
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