南山大学
2014年 理工学部 第1問
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$\fbox{}$の中に答を入れよ.
(1) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & 2b \\ -b & a \end{array} \right)$の表す$1$次変換によって,点$(3,\ 1)$が点$(7,\ -5)$に移され,点$(p,\ q)$が点$(4,\ 1)$に移される.$a$と$b$の値を求めると$(a,\ b)=\fbox{ア}$であり,$p$と$q$の値を求めると$(p,\ q)=\fbox{イ}$である.
(2) $3$辺の長さがそれぞれ$\displaystyle 1,\ x,\ 2-x \ \ \left( \frac{1}{2}<x<\frac{3}{2} \right)$の三角形がある.この三角形の面積$S$を$x$で表すと$S=\fbox{ウ}$であり,$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{2}}{4}$となる$x$の値の範囲を求めると$\fbox{エ}$である.
(3) $2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は,
$a_n=2n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=2,\ \ (n+1)b_{n+1}=a_{n+1}+nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たす.$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めると,$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\fbox{オ}$である.$\{b_n\}$の一般項を求めると,$b_n=\fbox{カ}$である.
(4) $0 \leqq \theta<2\pi$のとき,$y=1-2 \sin \theta-\cos 2\theta$の最大値を求めると,$y=\fbox{キ}$であり,$z=\sin^2 \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \cos^2 \theta$の最大値を求めると,$z=\fbox{ク}$である.
(5) $3$つのサイコロを同時に投げるとき,出た目の和が$4$以下である確率は$\fbox{ケ}$であり,出た目の和が奇数であるか$5$以上である確率は$\fbox{コ}$である.
(1) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & 2b \\ -b & a \end{array} \right)$の表す$1$次変換によって,点$(3,\ 1)$が点$(7,\ -5)$に移され,点$(p,\ q)$が点$(4,\ 1)$に移される.$a$と$b$の値を求めると$(a,\ b)=\fbox{ア}$であり,$p$と$q$の値を求めると$(p,\ q)=\fbox{イ}$である.
(2) $3$辺の長さがそれぞれ$\displaystyle 1,\ x,\ 2-x \ \ \left( \frac{1}{2}<x<\frac{3}{2} \right)$の三角形がある.この三角形の面積$S$を$x$で表すと$S=\fbox{ウ}$であり,$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{2}}{4}$となる$x$の値の範囲を求めると$\fbox{エ}$である.
(3) $2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は,
$a_n=2n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=2,\ \ (n+1)b_{n+1}=a_{n+1}+nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たす.$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めると,$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\fbox{オ}$である.$\{b_n\}$の一般項を求めると,$b_n=\fbox{カ}$である.
(4) $0 \leqq \theta<2\pi$のとき,$y=1-2 \sin \theta-\cos 2\theta$の最大値を求めると,$y=\fbox{キ}$であり,$z=\sin^2 \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \cos^2 \theta$の最大値を求めると,$z=\fbox{ク}$である.
(5) $3$つのサイコロを同時に投げるとき,出た目の和が$4$以下である確率は$\fbox{ケ}$であり,出た目の和が奇数であるか$5$以上である確率は$\fbox{コ}$である.
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