下の図のように，$F_1$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とする．$F_1$の$3$つの辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける．この$3$つの線分の中央の線分に，その線分を$1$辺とする正三角形を$F_1$の外側に追加して得られる多角形を$F_2$とする．次に，$F_2$の$12$個の辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける．この$3$つの線分の中央の線分に，その線分を$1$辺とする正三角形を$F_2$の外側に追加して得られる多角形を$F_3$とする．以下同様にして，$F_4,\ F_5,\ F_6,\ \cdots$を作るものとする．$F_n$の辺の個数を$K_n$，周の長さを$L_n$，面積を$S_n$とする． \imgc{280_2171_2013_1}
(1) $K_n \ \ (n \geqq 1)$を求めよ．
(2) $L_n \ \ (n \geqq 1)$を求めよ．
(3) $S_1$と$S_n-S_{n-1} \ \ (n \geqq 2)$を求めよ．
(4) $S_n \ \ (n \geqq 1)$を求めよ．
(5) 数列$\{L_n\}$の極限を調べよ． 数列$\{S_n\}$の極限を調べよ．