$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$で，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{DE}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$0<t<1$とする．
(1) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2) 内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$，$\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2} \cdot \frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$の値を求めよ．
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$t$の式で表せ．
(4) $\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$が垂直になるように$t$の値を定めよ．