慶應義塾大学
2015年 理工学部 第5問
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袋に赤玉が$2$個と白玉が$1$個入っている.袋から玉を$1$個取り出し玉の色を見て袋に戻す.このとき取り出した玉と同色の玉をもう$1$つ袋に加える.この操作を繰り返して行う.
(1) $n$回目の操作を終えたとき,それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回($0 \leqq k \leqq n$)であったとする.このとき,$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと,$p_n(k)=\fbox{ナ}$となる.
(2) $n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回($0 \leqq k \leqq n$)である確率を$q_n(k)$とおく.たとえば,$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$,$q_4(2)=\fbox{ニ}$となる.$n$回の操作中$j$回目($1 \leqq j \leqq n$)だけ赤玉を取り出し,その他の操作では白玉を取り出す確率は$\fbox{ヌ}$であり,$q_n(1)=n \times \fbox{ヌ}$となる.$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと,$q_n(k)=\fbox{ネ}$となる.
(3) $n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回($0 \leqq k \leqq n$)であり,$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は,$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる.このことから,$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$\fbox{ノ}$となる.
(4) $f(x)=e^{-x^2}$とする.$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて \[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \] とおくと,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\fbox{ハ}$となる.
(1) $n$回目の操作を終えたとき,それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回($0 \leqq k \leqq n$)であったとする.このとき,$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと,$p_n(k)=\fbox{ナ}$となる.
(2) $n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回($0 \leqq k \leqq n$)である確率を$q_n(k)$とおく.たとえば,$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$,$q_4(2)=\fbox{ニ}$となる.$n$回の操作中$j$回目($1 \leqq j \leqq n$)だけ赤玉を取り出し,その他の操作では白玉を取り出す確率は$\fbox{ヌ}$であり,$q_n(1)=n \times \fbox{ヌ}$となる.$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと,$q_n(k)=\fbox{ネ}$となる.
(3) $n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回($0 \leqq k \leqq n$)であり,$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は,$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる.このことから,$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$\fbox{ノ}$となる.
(4) $f(x)=e^{-x^2}$とする.$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて \[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \] とおくと,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\fbox{ハ}$となる.
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