愛知県立大学
2014年 理系 第1問
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![1から5までの5つの自然数のうち,いずれかの1つの数字が確率的に表示される3つの装置A,B,Cがある.各装置A,B,Cで数字n(1≦n≦5)が表示される確率をそれぞれP_{A}(n),P_{B}(n),P_{C}(n)とし,Σ_{n=1}^5P_{A}(n)=Σ_{n=1}^5P_{B}(n)=Σ_{n=1}^5P_{C}(n)=1が成り立っている.a,b,c,kを実数とし,f(n)={2}^{{-(n-3)}^2}とするとき,以下の問いに答えよ.(1)P_{A}(n)=a・f(n)であるとき,装置Aで各数字が表示される確率と,表示される数字の期待値を求めよ.(2)P_{B}(n)={2}^{-2n+5}・b・f(n)であるとき,装置Bと(1)で確率を求めた装置Aの表示が,両方とも偶数である確率を求めよ.(3)P_{C}(n)={2}^{-{n}^2+kn}・c・f(n)であり,(1)のP_{A}(n)が最大となるときのnをmとする.このとき,P_{C}(n)が最大となるnとmが等しくなるkの範囲を求めよ.](./thumb/413/2579/2014_1.png)
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$1$から$5$までの$5$つの自然数のうち,いずれかの$1$つの数字が確率的に表示される$3$つの装置$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がある.各装置$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$で数字$n \ \ (1 \leqq n \leqq 5)$が表示される確率をそれぞれ$P_{\mathrm{A}}(n)$,$P_{\mathrm{B}}(n)$,$P_{\mathrm{C}}(n)$とし,
\[ \sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{A}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{B}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{C}}(n)=1 \]
が成り立っている.$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし,$f(n)={2}^{{-(n-3)}^2}$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $P_{\mathrm{A}}(n)=a \cdot f(n)$であるとき,装置$\mathrm{A}$で各数字が表示される確率と,表示される数字の期待値を求めよ.
(2) $P_{\mathrm{B}}(n)={2}^{-2n+5} \cdot b \cdot f(n)$であるとき,装置$\mathrm{B}$と$(1)$で確率を求めた装置$\mathrm{A}$の表示が,両方とも偶数である確率を求めよ.
(3) $P_{\mathrm{C}}(n)={2}^{-{n}^2+kn} \cdot c \cdot f(n)$であり,$(1)$の$P_{\mathrm{A}}(n)$が最大となるときの$n$を$m$とする.このとき,$P_{\mathrm{C}}(n)$が最大となる$n$と$m$が等しくなる$k$の範囲を求めよ.
(1) $P_{\mathrm{A}}(n)=a \cdot f(n)$であるとき,装置$\mathrm{A}$で各数字が表示される確率と,表示される数字の期待値を求めよ.
(2) $P_{\mathrm{B}}(n)={2}^{-2n+5} \cdot b \cdot f(n)$であるとき,装置$\mathrm{B}$と$(1)$で確率を求めた装置$\mathrm{A}$の表示が,両方とも偶数である確率を求めよ.
(3) $P_{\mathrm{C}}(n)={2}^{-{n}^2+kn} \cdot c \cdot f(n)$であり,$(1)$の$P_{\mathrm{A}}(n)$が最大となるときの$n$を$m$とする.このとき,$P_{\mathrm{C}}(n)$が最大となる$n$と$m$が等しくなる$k$の範囲を求めよ.
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