高知工科大学
2011年 理系 第3問
3
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0以上の整数$n$に対して
\[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく.ここで$e$は自然対数の底である.次の各問に答えよ.
(1) $a_0$と$a_1$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ.
(3) 等式 \[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ.
(4) 次式が成り立つことを証明せよ. \[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]
(1) $a_0$と$a_1$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ.
(3) 等式 \[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ.
(4) 次式が成り立つことを証明せよ. \[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]
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コメント(1件)
2016-02-01 22:18:04
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