金沢工業大学
2014年 理系1 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) $p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$,$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=\fbox{アイ}$,$pq=\fbox{ウ}$,$p^2+q^2=\fbox{エオカ}$である.
(2) 連立不等式$\left\{ \begin{array}{r} |2x-9| \leqq 5 \\ 9-2x \leqq 4 \end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \leqq x \leqq \fbox{ケ}$である.
(3) $(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$\fbox{コサシ}$である.
(4) ${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で,$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき, \[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セソ}} \] である.
(5) $p,\ q$を定数とし,$q<0$とする.$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき,$\displaystyle p=\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$,$q=\fbox{ツテ}$である. 赤玉が$5$個,白玉が$3$個入っている袋がある.この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき,少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナニ}}$である. $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて,それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする.このとき,積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$\fbox{ヌネ}$組あり,偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$\fbox{ノハヒ}$組ある. $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に,点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる.線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると,$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘホ}} \triangle \mathrm{BCR}$である.
(1) $p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$,$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=\fbox{アイ}$,$pq=\fbox{ウ}$,$p^2+q^2=\fbox{エオカ}$である.
(2) 連立不等式$\left\{ \begin{array}{r} |2x-9| \leqq 5 \\ 9-2x \leqq 4 \end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \leqq x \leqq \fbox{ケ}$である.
(3) $(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$\fbox{コサシ}$である.
(4) ${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で,$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき, \[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セソ}} \] である.
(5) $p,\ q$を定数とし,$q<0$とする.$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき,$\displaystyle p=\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$,$q=\fbox{ツテ}$である. 赤玉が$5$個,白玉が$3$個入っている袋がある.この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき,少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナニ}}$である. $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて,それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする.このとき,積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$\fbox{ヌネ}$組あり,偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$\fbox{ノハヒ}$組ある. $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に,点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる.線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると,$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘホ}} \triangle \mathrm{BCR}$である.
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