九州工業大学
2016年 工学部 第4問
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点$\mathrm{A}(1,\ 0)$および点$\displaystyle \mathrm{P}(\sqrt{3} \cos \theta,\ \sqrt{3} \sin \theta) \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$がある.$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とし,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{A}$を通る直線を$\ell$,$2$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする.次に答えよ.ただし,$\mathrm{O}$は原点を表す.
(1) $\sqrt{3} \cos \theta>1$を示せ.
(2) 直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ.
(3) 直線$\ell$と直線$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(4) 三角形$\mathrm{PAQ}$の面積を$S$とする.$\theta$が変化するとき,$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ.
(5) $\theta$が$(4)$で求めた値をとるとき,$2$直線$\ell,\ m$および曲線$x^2+y^2=3 \ \ (x \geqq \sqrt{3} \cos \theta)$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
(1) $\sqrt{3} \cos \theta>1$を示せ.
(2) 直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ.
(3) 直線$\ell$と直線$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(4) 三角形$\mathrm{PAQ}$の面積を$S$とする.$\theta$が変化するとき,$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ.
(5) $\theta$が$(4)$で求めた値をとるとき,$2$直線$\ell,\ m$および曲線$x^2+y^2=3 \ \ (x \geqq \sqrt{3} \cos \theta)$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
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