近畿大学
2012年 理系 第3問
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$a,\ b$を実数とし,行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
b & 2
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$と$\mathrm{P}(1,\ 0)$を考える.$1$次変換$f$と$f^2=f \circ f$による$\mathrm{P}$の像をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.
(1) $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角三角形の頂点となる必要十分条件は \[ ab+\fbox{ア}b^2+\fbox{イ}=0 \] である.この条件のもとで$a$のとる正の値の最小値は$\fbox{ウ} \sqrt{\fbox{エ}}$である.
(2) $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角二等辺三角形の頂点となる必要十分条件は \[ (a,\ b)=\left( \fbox{オカ},\ -\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \right) \quad \text{または} \quad (a,\ b)=\left( -\fbox{ケコ},\ \frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \right) \] である.
(1) $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角三角形の頂点となる必要十分条件は \[ ab+\fbox{ア}b^2+\fbox{イ}=0 \] である.この条件のもとで$a$のとる正の値の最小値は$\fbox{ウ} \sqrt{\fbox{エ}}$である.
(2) $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角二等辺三角形の頂点となる必要十分条件は \[ (a,\ b)=\left( \fbox{オカ},\ -\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \right) \quad \text{または} \quad (a,\ b)=\left( -\fbox{ケコ},\ \frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \right) \] である.
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