広島市立大学
2010年 理系 第2問
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次の問いに答えよ.
[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr)$で,$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える.ただし,$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする.
[(1)] $a+d=5$であることを示せ. [(2)] このような$A$をすべて求めよ.
[問2] \[ a_1=1,\ \ a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定義される数列$\{a_n\}$を考える.
[(1)] すべての正の整数$n$に対し,$a_n<3$が成り立つことを証明せよ. [(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ. [(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr)$で,$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える.ただし,$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする.
[(1)] $a+d=5$であることを示せ. [(2)] このような$A$をすべて求めよ.
[問2] \[ a_1=1,\ \ a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定義される数列$\{a_n\}$を考える.
[(1)] すべての正の整数$n$に対し,$a_n<3$が成り立つことを証明せよ. [(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ. [(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
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