早稲田大学
2013年 スポーツ科学学部 第6問
6
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数列
\[ \{a_n\}:\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6},\ \cdots \]
がある.この数列$\{a_n\}$を
\[ \frac{1}{2} \;\biggl|\; \frac{1}{3},\ \frac{2}{3} \;\biggl|\; \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4} \;\biggl|\; \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5} \;\biggl|\; \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6} \;\biggl|\; \cdots \]
のように群に分けると,第$k$群は,初項$\displaystyle \frac{1}{k+1}$,末項$\displaystyle \frac{k}{k+1}$,公差$\displaystyle \frac{1}{k+1}$の等差数列である.
(1) 数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき,分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは,$\displaystyle \frac{1}{\fbox{ノ}}$からの$4$つの項である.
(2) 数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から,第$m$群の末項までの和は, \[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}m^{\mkakko{フ}}+\frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}m \] である.
(1) 数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき,分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは,$\displaystyle \frac{1}{\fbox{ノ}}$からの$4$つの項である.
(2) 数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から,第$m$群の末項までの和は, \[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{m}{m+1}=\frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}m^{\mkakko{フ}}+\frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}m \] である.
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