獨協医科大学
2014年 医学部 第1問
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![次の問いに答えなさい.(1)aを正の定数とし,xについての2つの不等式log_3(x+2a)+log_3(x+3a)<log_310ax・・・・・・①log_3(3x-4)+log_3(3x+2)<2log_9(6x-5)+1・・・・・・②を考える.①の解は[ア]a<x<[イ]aである.②の解は\frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]}である.①,②をともに満たす実数xが存在するとき,aのとり得る値の範囲は\frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]}である.(2)放物線C:y=1/2x^2上に2点P,Qがある.P,Qのx座標をそれぞれp,qとしたとき,p,qはq<pを満たす整数で,p>0,p+qは正の偶数とする.また,点Pにおける放物線Cの接線をℓ,2点P,Qを通る直線をmとし,直線ℓ,mがx軸の正の向きとなす角をそれぞれα,β(0<α<π/2,0<β<π/2),2直線ℓ,mのなす角をθ(0<θ<π/2)とする.p=5,q=1のときtanα=[サ],tanβ=[シ]でありtanθ=\frac{1}{[ス]}である.また,tanθ=1/7を満たす整数p,qの組(p,q)をすべてあげると,(p,q)=([セ],[ソ]),([タチ],[ツテ]),([トナ],[ニヌネ])である.ただし,[セ]<[タチ]<[トナ]とする.](./thumb/101/2273/2014_1.png)
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次の問いに答えなさい.
(1) $a$を正の定数とし,$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \hfill \cdots\cdots\maruichi$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \hfill \cdots\cdots\maruni$
を考える.
$\maruichi$の解は \[ \fbox{ア}a<x<\fbox{イ}a \] である.
$\maruni$の解は \[ \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}<x<\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] である.
$\maruichi,\ \maruni$をともに満たす実数$x$が存在するとき,$a$のとり得る値の範囲は \[ \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}<a<\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \] である.
(2) 放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき,$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で,$p>0$,$p+q$は正の偶数とする.
また,点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし,直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \ \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$,$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.
$p=5,\ q=1$のとき \[ \tan \alpha=\fbox{サ},\quad \tan \beta=\fbox{シ} \] であり \[ \tan \theta=\frac{1}{\fbox{ス}} \] である.
また,$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると, \[ (p,\ q)=(\fbox{セ},\ \fbox{ソ}),\ (\fbox{タチ},\ \fbox{ツテ}),\ (\fbox{トナ},\ \fbox{ニヌネ}) \] である.ただし,$\fbox{セ}<\fbox{タチ}<\fbox{トナ}$とする.
(1) $a$を正の定数とし,$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \hfill \cdots\cdots\maruichi$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \hfill \cdots\cdots\maruni$
を考える.
$\maruichi$の解は \[ \fbox{ア}a<x<\fbox{イ}a \] である.
$\maruni$の解は \[ \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}<x<\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] である.
$\maruichi,\ \maruni$をともに満たす実数$x$が存在するとき,$a$のとり得る値の範囲は \[ \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}<a<\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \] である.
(2) 放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき,$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で,$p>0$,$p+q$は正の偶数とする.
また,点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし,直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \ \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$,$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.
$p=5,\ q=1$のとき \[ \tan \alpha=\fbox{サ},\quad \tan \beta=\fbox{シ} \] であり \[ \tan \theta=\frac{1}{\fbox{ス}} \] である.
また,$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると, \[ (p,\ q)=(\fbox{セ},\ \fbox{ソ}),\ (\fbox{タチ},\ \fbox{ツテ}),\ (\fbox{トナ},\ \fbox{ニヌネ}) \] である.ただし,$\fbox{セ}<\fbox{タチ}<\fbox{トナ}$とする.
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コメント(2件)
![]() 作りました。見た目ほどはごつくないです。 |
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