名古屋工業大学
2012年 工学部 第3問
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$a,\ b$は定数で$a \neq 0$とする.自然数$n$に対して,整式$(ax+b)^n$を$x^2+1$で割った余りを$a_nx+b_n$と表し,
\[ I_n=\int_0^1 \frac{(ax+b)^n}{x^2+1} \, dx \]
とおく.
(1) 行列$A$は,すべての$n$に対して, \[ \biggl( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \biggr) \] を満たす.行列$A$を求めよ.
(2) (1)で求めた行列$A$に対し, \[ A^2+pA+qE=O \] となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ.ただし,$E$は単位行列,$O$は零行列である.
(3) (2)で求めた$p,\ q$に対し,定積分 \[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \] を求めよ.
(4) $a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ.
(1) 行列$A$は,すべての$n$に対して, \[ \biggl( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \biggr) \] を満たす.行列$A$を求めよ.
(2) (1)で求めた行列$A$に対し, \[ A^2+pA+qE=O \] となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ.ただし,$E$は単位行列,$O$は零行列である.
(3) (2)で求めた$p,\ q$に対し,定積分 \[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \] を求めよ.
(4) $a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ.
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