長崎大学
2010年 理系 第5問
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$a,\ b$を$a>b>0$を満たす定数とし,
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=a,\ \ a_{n+1}=a_n^2+b_n^2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=b,\ \ b_{n+1}=2a_nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
で定義される数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える.次の問いに答えよ.
(1) 数列$\{c_n\}$を$c_n=a_n+b_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定義するとき,その一般項$c_n$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項$a_n,\ b_n$を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$が存在するかどうかを調べ,存在する場合はその値を求めよ.
(4) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するとき,$a+b<1$が成り立つことを証明せよ.
(1) 数列$\{c_n\}$を$c_n=a_n+b_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定義するとき,その一般項$c_n$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項$a_n,\ b_n$を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$が存在するかどうかを調べ,存在する場合はその値を求めよ.
(4) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$が収束するとき,$a+b<1$が成り立つことを証明せよ.
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