長崎大学
2015年 経済・水産・環境科学部 第2問
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$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(4,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 4,\ 0)$,$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 4)$をとり,下図のように線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OC}$,$\mathrm{OD}$を$3$辺とする立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える.辺$\mathrm{DE}$,$\mathrm{BF}$の中点を,それぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$とする.以下の問いに答えよ.
\imgc{713_2945_2015_1}
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ.
(2) $\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする.$\cos \theta$の値を求めよ.
(3) $3$点$\mathrm{G}$,$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ.
(4) 三角錐$\mathrm{FGMN}$において,三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ.
(5) 三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ.
(2) $\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする.$\cos \theta$の値を求めよ.
(3) $3$点$\mathrm{G}$,$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ.
(4) 三角錐$\mathrm{FGMN}$において,三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ.
(5) 三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ.
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